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Zahlenmuster, Terme und Gleichungen

Hinweis 1

Was ist eine Zahlenfolge? Jeder natürlichen Zahl n wird nach einer bestimmten Vorschrift eine Zahl an zugeordnet.

n an

(Figur) 1 1
(Figur) 2 3
(Figur) 3 6
(Figur) 4 10
(Figur) 5 15
usw.

Bei figurierten Zahlen (Zahlen die sich aus Figuren ableiten) geschieht die Zuordnung oft durch ein geometrisches Muster. Die Folge kann aber auch durch eine algebraische Formel beschrieben werden.

Tipp 2

Lerne keine algebraischen Formeln auswendig! Nimm Bleistift und Papier, zeichne die Muster auf und suche nach Gesetzmässigkeiten. Hier noch einmal das Beispiel der Dreieckszahlen:

Was kannst du hier ablesen?

  • Die Folge der Dreieckszahlen: 1, 3, 6, 10, ...
  • Die Differenzbeträge von einer zur nächsten Figur. Es handelt sich dabei um die blauen Kreise, sie müssen neu dazugelegt werden.

Wie du siehst, erhöht sich der Differenzbetrag bei jeder Figur um 1.


Addierst du n Summanden der Summenfolge, erhältst du die Zahl an.

Hinweis 3

Wie findest du nun eine algebraische Formel zur Beschreibung deiner Folge? Das kann recht schwierig sein. Du brauchst Freude am Ausprobieren und Geduld. Die folgende Abbildung zeigt nochmals die Dreieckszahlen, allerdings für jede Figur in doppelter Ausführung (blau und gelb).

Dieses geometrische Muster lässt eine Idee für die Berechnung der einzelnen Glieder erkennen: Die Breite der Rechtecke ist jeweils n und die Höhe (n+1). Die Formel für die Berechnung der Dreieckszahl Dn lautet:


Tipp 4

Genau so einfach kannst du dir die Folge der Viereckszahlen vorstellen. Mit den gleichen Überlegungen wie zuvor erkennst du die Differenzbeträge und die explizite Formel Qn=n2 für die Berechnung der einzelnen Glieder.

Hinweis 5

Für das Lösen von Ungleichungen gelten dieselben Grundregeln wie für das Lösen von Gleichungen.

Allerdings erfordern die Vergleichszeichen ein besonderes Augenmerk auf die Vorzeichen.
Die Multiplikation mit einer negativen Zahl und die Division durch eine negative Zahl führen zu einer Umkehrung der Vergleichszeichen:

Hinweis 6

Der letzte Hinweis betrifft das Lösen von quadratischen Gleichungen der Form
x2+ax=0
Du kannst den Term x2+ax ausklammern und erhältst x(x+a)
Es gilt also: