Umgekehrt proportionale Berechnungen
Hinweis 1
Kennst du noch die Bedeutung von Achsenkreuz, Wertepaar und Graph? Im
Achsenkreuz können wir zusammengehörende Werte eintragen: Das Wertepaar
(a1,b1) entsteht dadurch, dass dem Wert a1 auf ganz bestimmte Weise ein Wert
b1 zugeordnet wurde. Auf dieselbe Weise wird dem Wert a2 der Wert b2
zugeordnet usw. Wenn du die Wertepaare miteinander verbindest, erhältst du
den Graphen der voneinander abhängigen Grössen.
Tipp 2
In dieser Lernumgebung betrachten wir nun zwei ganz bestimmte
Zuordnungen,
- die proportionale Zuordnung und
- die umgekehrt proportionale Zuordnung.
Merke dir die beiden Zuordnungsvorschriften:
a. |
Proportionale Zuordnung |
Die Zuordnung a→b ist dann proportional, wenn
b:a konstant ist. |
b. |
Umgekehrt
proportionale Zuordnung |
Die Zuordnung a→b ist dann umgekehrt
proportional, wenn das Produkt a·b
konstant ist.
|
Tipp 3
Wertepaare kannst du immer in einer Wertetabelle gegenüberstellen.
Betrachten wir den Verkaufspreis einer bestimmten Käsesorte. Wir haben eine
proportionale Zuordnung, je mehr Käse du kaufst, desto mehr bezahlst du und
du erkennst, dass b:a konstant ist.
Wertetabelle:
Gewicht a |
Preis b |
b:a ist konstant |
1000 g |
20 Fr. |
20:1000=0.02 |
100 g |
2 Fr. |
2:100=0.02 |
500 g |
10 Fr. |
10:500=0.02 |
200 g |
4 Fr. |
4:200=0.02 |
80 g |
1.60 Fr. |
1.60:80=0.02 |
Tipp 4
Wenn du die Wertepaare in ein Achsenkreuz setzt und den Graphen
zeichnest, erkennst du, dass der Graph eine Gerade bildet, welche durch den
Ursprung geht.
Hinweis 5
Nun zur umgekehrt proportionalen Zuordnung:
Betrachten wir folgendes Beispiel. Suche Rechtecke, deren Fläche 36 cm²
beträgt.
Du kannst Beispiele solcher Rechtecke in eine Wertetabelle einfügen.
Wenn die Seiten mit a und b gekennzeichnet werden, dann gilt:
a·b = 36cm²
Seite a |
Seite b |
36 cm |
1 cm |
18 cm |
2 cm |
9 cm |
4 cm |
6 cm |
6 cm |
4 cm |
9 cm |
Hinweis 6
Stellen wir nun die Wertepaare in ein Achsenkreuz. Du siehst, die
Wertepaare (a,b) dieser umgekehrt proportionalen
Zuordnung liegen auf einer Hyperbel. Die Hyperbel ist eine Linie, die sich
an die x- und y-Achse beliebig annähert.
Tipp 7
Schauen wir noch wie du Werte berechnest, wenn du weißt, dass deine
Zuordnung proportional ist: Du kennst den Preis für 10 Stück Kafferähmli.
Sie kosten Fr. 2.70. Du brauchst nun den Preis für 25 Stück. Das sind 2.5
mal mehr, also ist auch der Preis 2.5 mal höher.
Tipp 8
Betrachtest du umgekehrt proportionale
Zuordnungen, darfst du nie vergessen, dass das Produkt der Wertepaare
konstant ist.
Du hast folgende Aufgabe vor dir: 6 Wasserpumpen entwässern einen Aushub
in 8 h. Wie lange brauchen 3 Wasserpumpen?
Du kennst das Wertepaar (a1,b1) = (6 Stück Pumpen, 8 Stunden). Daraus
folgt die Konstante: