BANEKO GmbH

Umgekehrt proportionale Berechnungen

Hinweis 1

Kennst du noch die Bedeutung von Achsenkreuz, Wertepaar und Graph? Im Achsenkreuz können wir zusammengehörende Werte eintragen: Das Wertepaar (a1,b1) entsteht dadurch, dass dem Wert a1 auf ganz bestimmte Weise ein Wert b1 zugeordnet wurde. Auf dieselbe Weise wird dem Wert a2 der Wert b2 zugeordnet usw. Wenn du die Wertepaare miteinander verbindest, erhältst du den Graphen der voneinander abhängigen Grössen.

Tipp 2

In dieser Lernumgebung betrachten wir nun zwei ganz bestimmte Zuordnungen,

  1. die proportionale Zuordnung und
  2. die umgekehrt proportionale Zuordnung.

Merke dir die beiden Zuordnungsvorschriften:

a. Proportionale Zuordnung Die Zuordnung a→b ist dann proportional, wenn b:a konstant ist.
b. Umgekehrt proportionale Zuordnung Die Zuordnung a→b ist dann umgekehrt proportional, wenn das Produkt a·b konstant ist.

Tipp 3

Wertepaare kannst du immer in einer Wertetabelle gegenüberstellen. Betrachten wir den Verkaufspreis einer bestimmten Käsesorte. Wir haben eine proportionale Zuordnung, je mehr Käse du kaufst, desto mehr bezahlst du und du erkennst, dass b:a konstant ist.

Wertetabelle:

Gewicht a Preis b b:a ist konstant
1000 g 20 Fr. 20:1000=0.02
100 g 2 Fr. 2:100=0.02
500 g 10 Fr. 10:500=0.02
200 g 4 Fr. 4:200=0.02
80 g 1.60 Fr. 1.60:80=0.02

Tipp 4

Wenn du die Wertepaare in ein Achsenkreuz setzt und den Graphen zeichnest, erkennst du, dass der Graph eine Gerade bildet, welche durch den Ursprung geht.

Hinweis 5

Nun zur umgekehrt proportionalen Zuordnung: Betrachten wir folgendes Beispiel. Suche Rechtecke, deren Fläche 36 cm² beträgt.
Du kannst Beispiele solcher Rechtecke in eine Wertetabelle einfügen. Wenn die Seiten mit a und b gekennzeichnet werden, dann gilt: a·b = 36cm²

Seite a Seite b
36 cm 1 cm
18 cm 2 cm
9 cm 4 cm
6 cm 6 cm
4 cm 9 cm

Hinweis 6

Stellen wir nun die Wertepaare in ein Achsenkreuz. Du siehst, die Wertepaare (a,b) dieser umgekehrt proportionalen Zuordnung liegen auf einer Hyperbel. Die Hyperbel ist eine Linie, die sich an die x- und y-Achse beliebig annähert.

Tipp 7

Schauen wir noch wie du Werte berechnest, wenn du weißt, dass deine Zuordnung proportional ist: Du kennst den Preis für 10 Stück Kafferähmli. Sie kosten Fr. 2.70. Du brauchst nun den Preis für 25 Stück. Das sind 2.5 mal mehr, also ist auch der Preis 2.5 mal höher.

Tipp 8

Betrachtest du umgekehrt proportionale Zuordnungen, darfst du nie vergessen, dass das Produkt der Wertepaare konstant ist.

Du hast folgende Aufgabe vor dir: 6 Wasserpumpen entwässern einen Aushub in 8 h. Wie lange brauchen 3 Wasserpumpen?

Du kennst das Wertepaar (a1,b1) = (6 Stück Pumpen, 8 Stunden). Daraus folgt die Konstante: