Notwendige Bedingung für Konvergenz

Ist ∑_k a_k eine konvergente Reihe, so müssen die Reihenglieder a_k (als Folge) gegen 0 konvergieren, d.h., es gilt

∑ k

ak  konvergiert      ⇒

lim k→∞

ak = 0.

Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, wissen wir sofort, dass die Reihe nicht konvergieren kann. Ist die Bedingung umgekehrt erfüllt, wissen wir noch nicht, ob die Reihe auch konvergieren wird, da die Bedingung zwar notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe ist.

Beispiel

∞ ∑ k=0

k k+1

Es gilt

lim k→∞

k k+1

= 1,

also kann die Reihe nicht konvergieren.

Beispiel

∞ ∑ k=1

1 k

Hier gilt

lim k→∞

1 k

= 0,

trotzdem ist die harmonische Reihe nicht konvergent.

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