BANEKO GmbH

Folgen

Tipp

Sind die Folgenglieder Brüche mit Polynomen im Zähler und Nenner, so klammert man den führenden Exponenten aus und bildet danach einzeln die Grenzwerte.

Beispiel

an = 
n2 − 1
n2 + 1
 

Im Zähler und Nenner stehen Polynome vom Grad 2, also Klammern wir jeweils n2 aus und kürzen dies gleich.

an = 
n2 − 1
n2 + 1
 = 
n2 (1 − 1/n2)
n2 (1 + 1/n2)
 = 
1 − 1/n2
1 + 1/n2
.

Nun kann man für jeden Summanden einzeln den Grenzwert bilden. Es gilt

1 − 1/n2
1 + 1/n2
 → 
1 − 0
1 + 0
 = 1. 

Tipp

Ist der führende Exponent im Nenner größer als im Zähler, erhält man eine Nullfolge.

Beispiel

bn = 
(n + 2)2
n3 − 1

Im Zähler ist der Grad 2, im Nenner 3. Ausklammern und kürzen liefert

bn = 
n2 (1 + 2/n)2
n3(1 − 1/n3)
  = 
1
n
 
(1 + 2/n)2
1 − 1/n3
.

Innerhalb der Klammer im Zähler konnte man ein n ausklammern. Zieht man dieses aus der Klammer, so wird es quadriert. Nun wird wieder einzeln der Grenzwert gebildet. Es gilt

1
n
 
(1 + 2/n)2
1 − 1/n3
 → 0  · 
(1 + 0)2
1 − 0
 = 0

Tipp

Ist der führende Exponent im Zähler größer als im Nenner, so ist die Folge divergent (also nicht konvergent).

Beispiel

cn = 
n2 − 1
√
n2 + 1
 

Im Zähler steht ein Polynom vom Grad 2. Im Nenner haben wir eine Wurzel, und in der Wurzel ein Polynom vom Grad 2. Aus diesem Polynom kann man n2 ausklammern, aber beim Herausziehen aus der Wurzel wird es zu einem n.

cn = 
n2 (1 − 1/n2)
√
n2(1 + 1/n2)
 = 
n2 (1 − 1/n2)
n √
1 + 1/n2
 = n · 
1 − 1/n2
√
1 + 1/n2
.

Nun kann man wieder einzeln den Grenzwert bilden. Es gilt

n · 
1 − 1/n2
√
1 + 1/n2
 → ∞ · 
1 − 0
√
1 + 0
 = ∞· 1 = ∞

Tipp

Hat man eine Summe oder Differenz aus zwei divergenten Folgen, so kann man den Grenzwert der Folge nicht aus den Grezwerten der einzelnen Summanden bestimmen. Kann man die Summanden wegen einer Wurzel nicht zusammenfassen, so hilft das folgende Verfahren. Sei etwa

an = √
n2+1
−n

Nun streben √n2+1 und n jeweils gegen +∞. Um die Wurzel aufzulösen benutzen wir die dritte binomische Formel

(a+b)(a−b) = a2 − b2. 

Nun setzen wir a = √n2 + 1 und b = n. Dann ist also an = a − b Wir erweitern mit dem Bruch

1 = 
a+b
a+b
 = 
√
n2 + 1
 + n
√
n2 + 1
 + n
 

und erhalten

an = a − b = (a − b) 
a + b
a + b
 = 
a2 − b2
a + b
 =
(n2+1)− n2
√
n2 + 1
 + n
  = 
1
√
n2 + 1
 + n
 < 
1
n
.

D.h., die Folge strebt gegen 0.

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